Định lý Pytago
Định lý Pythagoras là gì
Định lý Pythagoras là một định lý cơ bản trong hình học Euclid, nó cho biết mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông
Định lý này được đặt theo tên nhà toán học Hy Lạp cổ đại Pythagoras (khoảng 570-495 TCN).
Tuy nhiên, những hiểu biết về mối liên hệ này đã được biết đến từ trước thời của ông. Các nhà toán học Babylon, Ai Cập và Ấn Độ cổ đại đã có những hiểu biết nhất định về mối quan hệ này.
Pythagoras và trường phái của ông được coi là những người đầu tiên chứng minh được định lý này một cách có hệ thống.
Có nhiều chứng minh khác nhau cho định lý Pythagoras, và nó đã được chứng minh lại nhiều lần trong suốt lịch sử.
Định lý Pythagoras là một trong những định lý quan trọng nhất trong toán học và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau như xây dựng, đo đạc, hàng hải và khoa học máy tính.
Định lý Pythagoras
Công thức định lý Pythagoras
Định lý Pythagoras là một định lý cơ bản trong hình học Euclid, nó cho biết mối quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác vuông. Công thức và giải nghĩa như sau:
Công thức
a² + b² = c²
Định lý Pythagoras chỉ áp dụng cho tam giác vuông.
Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất trong tam giác vuông.
Định lý này có thể được sử dụng để tìm độ dài của một cạnh trong tam giác vuông nếu biết độ dài của hai cạnh còn lại.
Định lý Pythagoras đảo
Ngoài định lý Pythagoras thuận, còn có định lý Pythagoras đảo. Định lý này phát biểu rằng: Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.
Định lý Pythagoras đảo được sử dụng để kiểm tra xem một tam giác có phải là tam giác vuông hay không.
Định lý Pytago là một công cụ hữu ích trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như trong xây dựng, đo đạc và định hướng.
Định lý Pythagoras
Các cách chứng minh định lý Pythagoras
Có rất nhiều cách để chứng minh định lý Pytago. Dưới đây là hai cách phổ biến:
Chứng minh bằng diện tích
Bước 1: Vẽ một tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC và hai cạnh góc vuông AB và AC.
Bước 2: Vẽ các hình vuông có cạnh là AB, AC và BC.
Bước 3: Chia hình vuông cạnh BC thành các hình nhỏ hơn.
Bước 4: Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông cạnh AB và AC bằng diện tích của hình vuông cạnh BC.
Chứng minh bằng tam giác đồng dạng
Bước 1: Vẽ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Bước 2: Chứng minh rằng tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA.
Bước 3: Chứng minh rằng tam giác ACH đồng dạng với tam giác CBA.
Bước 4: Sử dụng tính chất của tam giác đồng dạng để suy ra công thức a² + b² = c².
Chi tiết chứng minh bằng diện tích
Gọi diện tích hình vuông cạnh AB là S1, diện tích hình vuông cạnh AC là S2 và diện tích hình vuông cạnh BC là S3.
Ta có:
S1 = AB²
S2 = AC²
S3 = BC²
Chia hình vuông cạnh BC thành các hình nhỏ hơn bằng cách vẽ các đường thẳng song song với AB và AC.
Các hình nhỏ hơn này có thể được sắp xếp lại để tạo thành hai hình vuông có diện tích S1 và S2.
Do đó, ta có: S1 + S2 = S3
Thay các giá trị S1, S2 và S3 vào, ta được: AB² + AC² = BC²
Chi tiết chứng minh bằng tam giác đồng dạng
Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.
Ta có:
Tam giác ABH đồng dạng với tam giác CBA (góc-góc)
Tam giác ACH đồng dạng với tam giác CBA (góc-góc)
Từ tam giác đồng dạng ABH và CBA, ta có:
AB/CB = BH/AB
Suy ra: AB² = CB * BH
Từ tam giác đồng dạng ACH và CBA, ta có:
AC/CB = CH/AC
Suy ra: AC² = CB * CH
Cộng hai phương trình trên, ta được:
AB² + AC² = CB * BH + CB * CH
AB² + AC² = CB * (BH + CH)
AB² + AC² = CB * BC
AB² + AC² = BC²
Định lý Pythagoras là một định lý quan trọng trong toán học và có nhiều ứng dụng trong thực tế.
Định lý Pythagoras
Các dạng bài tập áp dụng định lý Pythagoras
Chắc chắn rồi, dưới đây là một số bài tập mẫu cho các dạng bài tập liên quan đến định lý Pythagoras:
Dạng 1: Tính độ dài cạnh trong tam giác vuông
Bài tập: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm. Tính độ dài cạnh BC.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pytago, ta có: BC² = AB² + AC²
BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100
BC = √100 = 10 cm
Dạng 2: Chứng minh tam giác vuông
Bài tập: Cho tam giác DEF có DE = 9 cm, DF = 12 cm, EF = 15 cm. Chứng minh tam giác DEF vuông tại D.
Lời giải:
Ta có: DE² + DF² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
EF² = 15² = 225
Vì DE² + DF² = EF², nên theo định lý Pytago đảo, tam giác DEF vuông tại D.
Dạng 3: Bài tập ứng dụng thực tế
Bài tập: Một chiếc thang dài 10m dựa vào tường, chân thang cách tường 6m. Tính chiều cao của bức tường mà thang chạm tới.
Lời giải:
Gọi chiều cao của bức tường là h.
Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: h² + 6² = 10²
h² = 100 – 36 = 64
h = √64 = 8 m
Dạng 4: Bài tập kết hợp với các định lý khác
Bài tập: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết BH = 3 cm, CH = 12 cm. Tính AH.
Lời giải:
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABH vuông tại H, ta có: AB² = AH² + BH²
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ACH vuông tại H, ta có: AC² = AH² + CH²
Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác ABC vuông tại A, ta có: BC² = AB² + AC²
Ta có: BC = BH + CH = 3 + 12 = 15 cm
Thay các giá trị vào, ta có: 15² = (AH² + 3²) + (AH² + 12²)
Giải phương trình, ta được: AH = 6 cm
Dạng 5:
Bài tập: Cho tam giác XYZ vuông tại X, XY = 5 cm, XZ = 12 cm. Độ dài cạnh YZ là:
- 13 cm
- 17 cm
- 7 cm
- 169 cm
Lời giải:
Áp dụng định lý Pythagoras, ta có: YZ² = XY² + XZ² = 5² + 12² = 169
YZ = √169 = 13 cm
Đáp án: A
Trên đây là một số thông tin về định lý Pytago. Hi vọng các bạn đã có cho mình thông tin hữu ích.
